VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN

VARIABEL ACAK

Untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan.

Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit(hasil perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.

Variabel Acak Diskrit

Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.

Contoh :

1. Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah  koin (uang logam).
2. Jumlah anak dalam sebuah keluarga.

Variabel Acak Kontinu

Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan. Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.

Contoh :

1. Usia penduduk suatu daerah.
2. Panjang beberpa helai kain.

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT

Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x).

Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.

Contoh :

           Jumlah mobil terjual dalam sehari menurut jumlah hari selama 300 hari

Jumlah mobil terjual dalam sehari	Jumlah hari
0 1 2 3 4 5	54 117  72  42  12     3
Total	300

                Distribusi Probabilitas Jumlah Mobil Terjual dalam Sehari

X	p(x)
0 1 2 3 4 5	0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01
Total	1,00

Dalam membuat suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak diskrit, kondisi berikut harus dipenuhi.

1.    p(x) ³ 0 atau 0 £ p(x) £ 1

2.    S p(x) = 1

Kita juga bisa menyajika distribusi probabilitas dengan menggunakan grafik.

Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak diskrit

Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.

Secara matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut.

F(x) = P(X £ x) = X £ p(x)

Dimana

F(x) = P(X £ x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x.

Contoh :

               Probabilitas Kumulatif dari jumlah mobil terjual dalam sehari

X	F(x)
0 1 2 3 4 5	0,18 0,57 (= 0,18 + 0,39) 0,81 (= 0,18 + 0,39 + 0,24) 0,95 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14) 0,99 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04) 1,00 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04 + 0,01)

Kita bisa menyajikan fungsi probabilitas kumulatif dalam bentuk grafik, sbb.

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK KONTINU

Distribusi probabilitas variabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sring disebut sebagai fungsi kepadatan atau fungsi kepadatan probabilitas dan bukan fungsi probabilitas. Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1.

Fungsi kepadatan probabilitas harus memenuhi syarat sebagai berikut.

1.    f(x) ≥ 0

2.     (integral seluruh fungsi kepadatan probabilitas f(x) = 1)

3.    P(a < X < b) =

Catatan : f(x) dx = P{x ≤ X ≤ (x + dx)}, yaitu probabilitas bahwa nilai X terletak pada interval x dan x + dx.

Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Kontinu

Kalau pada variabel acak diskrit, fungsi probabilitas kumulatif dihitung dengan cara penjumlahan maka pada variabel acak kontinu, probabilitas kumulatif dicari dengan integral.

Rumusnya adalah sebagai berikut.

F(x) = P(X ≤ x) =

Nilai-nilai dalam rumus ini harus kontinu atau dalam suatu interval.

Contoh :

Suatu variabel acak kontinu X yang memiliki nilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi densitas yang dinyatakan oleh.

                     

Tentukan nilai P(X < 2)!

Penyelesaian :

P(X < 2) = P(1 < X < 2)

              =  

              =

FUNGSI PROBABILITAS BERSAMA

Bila X dan Y adalah dua variabel acak diskrit, distribusi probabilitas bersamanya dapat dinyatakan sabagai sebuah fungsi f(x,y) bagi sembarang nilai (x,y) yang dapat diambil oleh peubah acak X dan Y. Sehingga dalam rumus variabel acak diskrit.

                                            f(x,y) = p(X = x, Y = y)

Dimana nilai f(x,y) menyatakan peluang bahwa x dan y terjadi secara bersamaan.

Sedangkan distribusi probabilitas kumulatif bersama X dan Y terdiri dari nilai (x,y) dan f(x,y) untuk semua (X,Y)

Kalau dua variabel X, Y dan P(P = x, Y = y) = p(x,y) merupakan suatu fungsi yang memenuhi syarat berikut :

1. p(x,y) ≥ o, untuk seluruh nilai X dan Y

2.  (penjumlahan untuk seluruh nilai X dan Y)

maka p(x,y) disebut fungsi probabilitas bersama X dan Y.

Fungsi p(x) dan q(y) yang diperoleh langsung dari p(x,y) disebut fungsi marjinal.

                 

Fungsi marjinal p(x) dan q(y) dapat dilihat dalam tabel, pada beris dan kolom yang paling akhir (pada tepi tabel, marjin = tepi/pinggir).

NILAI HARAPAN DAN VARIANS DARI VARIABEL ACAK DISKRIT

Rata-rata (m) dari distribusi probabilitas adalah nilai harapan dari variabel acaknya.

Nilai harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil.

Nilai harapan diperoleh dengan menyatakan setiap kemungkinan hasil x dengan probabilitasnya P(X) dan kemudian menjumlahkan hasil perkalian tersebut.

Nilai harapan dari variabel acak diskrit X yang dinotasikan dengan E(X) dirumuskan sebagai berikut.

 

                  = x₁ p(x₁) + x₂ p(x₂) + ….+ x_N p(x_N)

dimana.

             x_i = nilai ke-I dari variabel acak X

         p(x_i) = probabilitas terjadinya x_i

Selain rata-rata, ukuran statistic yang lain adalah varians dan standar deviasi.

Varians (s²) dari variabel acak diskrit didefinisikan sebagai berikut.

Varians dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisih antara kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangnya adalah probabilitas dari masing-masing hasil tersebut.

Varians  diperoleh  dengan  mengalikan setiap kemungkinan kuadrat selisih (x_i­ - m)² dengan probabilitasnya p(x_i) dan kemudian menjumlahkan seluruh hasil perkalian tersebut. Sehingga varians dinyatakan sebagai berikut.

         

dimana:

          x_i = nilai ke-I dari variable acak X

      p(x_i) = probabilitas terjadinya x_i

Standar deviasi s diperoleh dengan menarik akar dari s².

       

Nilai Harapan dari Fungsi Probabilitas Bersama

Jika fungsi probabilitas bersama dinotasikan dengan p(x, y) untuk variabel acak X dan Y, maka nilai harapan dari variabel acak h(x, y) yang merupakan fungsi dari X dan Y adalah sebagai berikut.

            E[h(x, y)] = SSh9x, y) p(x, y)

Dimana.

            h(x, y) adalah sembarang fungsi dari X dan Y

            p(x, y) adalah probabilitas terjadinya X dan Y secara bersama-sama.

Kalau h(x, y) = xy, maka

          E[h(x, y)] = E(XY) = SSxy p(x, y)

Kalau h(x, y) = x + y, maka

          E[h(x, y)] = e(X + Y) = SS(x + y) p(x, y)

Aturan-aturan dalam Menghitung Nilai Harapan.

1.    E(k) = k, k = bilangan konstan.

2.    Varians (k) = 0 dan varians (X) = s²

3.    E(kX) = k E(X)

4.    Varians (kX) = k²s²

5.    E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)

E(S X_i) = SE(X_i)                 i = 1, 2, …, n

E(Sk_i X_i) = S k_i E(X_i)          i = 1, 2, …, n                       

KOVARIANS DAN APLIKASINYA DALAM KEUANGAN

Pada sub bab ini, kita pelajari konsep kovarians antara dua variabel dan kegunaannya dalam manajemen portfolio dan keungan.

Kovarians

Kovarians adalah suatu pengukur yang menyatakan variasi bersama dari dua variable acak. Kovarians antara dua variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan s_xy dan didefinisikan sebagai berikut.

       

dimana.

            X_i = nilai variable acak X ke-i

            Y_i = nilai variable acak Y ke-i

   P(x_i, y_i) = probabilitas terjadinya x_i dan y_i

              i = 1, 2, …, N

Nilai Harapan dari Penjumlahan Dua Variabel

Nilai harapan dari penjumlahan dua variable acak adalah sama dengan penjumlahan dari nilai harapan masing-masing variabel acak.

             

             E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Varians dari Penjumlahan Dua Variabel

Varians dari penjumlahan dua variabel acak adalah sama dengan jumlah varians dari masing-masing variabel ditambah dua kali kovarians.

             

Standar Deviasi dari Penjumlahan dua Variabel

             

Portfolio Expected Return dan Fortfolio Risk

Setelah kita definisikan kovarians, expected return, dan standar deviasi dari penjumlahan dua variabel acak, kita dapat menerapkan konsep-konsep tersebut pada studi mengenai sekelompok asset yang merujuk pada apa yang disebut sebagai portfolio. Dengan menanamkan investasi yang disebarkan pada tidak hanya satu perusahaan, investor mengkombinasikan pengembalian dan meminimumkan resiko. Dalam studi portfolio, kita menggunakan penimbang untuk setiap jenis investasi dengan proporsi asset pada investasi tersebut. Hal ini memungkinkan kita untuk menghitung portfolio expected return dan portfolio risk.

Portfolio expected return untuk investasi dua asset sama dengan penimbang bagi asset X dikalikan dengan expected return dari asset X ditambah dengan penimbang bagi asset Y dikalikan dengan expected return asset Y.

                        E(P) = wE(X) + (1 - w) E(Y)

Dimana.

             E(P) = portfolio expected return

w       = proporsi nilai portfolio dari asset X

            (1 - w) = proporsi nilai portfolio dari asset Y

             E(X) = expected return asset X

             E(Y) = expected return asset Y

Portfolio Risk